Hipérbola: Los elementos gráficos de la hipérbola

En efecto, la excentricidad es un parámetro que nos será muy útil para establecer la frontera entre la hipérbola y la elipse. Como recordarás, la definimos como:

Donde c es el semieje focal y a es el semieje mayor. Por otra parte, estarás de acuerdo en que:

Lo que significa que también podemos calcularla si dividimos la distancia focal 2c entre la longitud del eje mayor 2a.

Como recordarás, en una elipse la suma de distancias de un punto a los focos es  y como dijimos en la pantalla anterior, en una hipérbola la diferencia de distancias entre el punto y los focos es . Por tanto, podríamos calcular la excentricidad de las elipses e hipérbolas que vamos generando en el applet si dividimos el valor desplegado en “Distancia Focos” entre el valor desplegado en “Suma o Diferencia”. ¿Estás de acuerdo?

Con ello en mente, analicemos cómo cambia la excentricidad entre una elipse y una hipérbola:

1. Mueve nuevamente el foco F1 hacia la derecha hasta que la distancia entre los focos sea cero, y por tanto la gráfica en pantalla sea una circunferencia.
2. Anota en el primer renglón de la siguiente tabla el valor desplegado en “Distancia Focos” y en “Suma o Diferencia”, y calcula la excentricidad dividiendo ambas cantidades (redondea a dos cifras).
3. Desliza ahora F1 hacia la izquierda (como los focos están superpuestos, en el applet aparecerá un recuadro para que elijas si deseas mover F1 o F2: elige F1). Mueve F1 un poco y anota en la tabla los datos para calcular la excentricidad de la elipse que estás viendo.
4. Repite la operación anterior dos veces más, moviendo F1 cada vez más hacia la izquierda, sin que deje de ser una elipse.
5. A continuación mueve el foco F1 a una ubicación en la que la gráfica que visualices sea una hipérbola y calcula su excentricidad. Repite dos veces más con otras tantas hipérbolas para completar la siguiente tabla:

Ahora observa la columna Excentricidad e: compara la excentricidad de las elipses y de las hipérbolas. ¿Notas algo? Cuando tengas una hipótesis, puedes probarla en el applet. Luego, completa lo siguiente: (oprime aquí si necesitas una pista).

Con el trabajo que hemos realizado hasta ahora habrás notado que algunos elementos gráficos de la hipérbola coinciden con los de la elipse, aunque naturalmente necesitamos especificar algunos ajustes. Nos detendremos un poco entonces en los elementos gráficos de la hipérbola.