Hipérbola: Los elementos gráficos de la hipérbola
 

 

 

Lee con mucha atención la definición de la hipérbola:

 

 
 

La hipérbola es el lugar geométrico de todos aquellos puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
 

 
 

¿Te suena familiar? ¿Ya la hemos usado antes? ¿Qué sucede?

 

 
 

En realidad es la primera vez que trabajamos con esta definición, sin embargo, es muy probable que a tu mente haya venido esta otra:

 

 
 

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos llamados focos se mantiene siempre constante.
 

 
 

¿Te das cuenta? La elipse y la hipérbola tienen definiciones que difieren en la operación que relaciona las distancias de un punto a los focos. Si llamamos nuevamente F1 y F2  a los focos y P al punto que irá formando la gráfica, podríamos decir que:
 

 
 

Si SUMAMOS  y , tendremos una ELIPSE:
en cambio,
si RESTAMOS  y , tendremos una HIPÉRBOLA:

 

 
 

(Las rectas verticales nos indican que usamos el valor absoluto, esto es la distancia sin signo). Veamos esta diferencia gráficamente con la ayuda de la siguiente aplicación interactiva.
   
 

Aprovechemos tres medidas que el applet nos proporciona:

   
 
  • La longitud del semieje mayor, es decir, a
  • La suma (o resta) de distancias a los focos, que es constante y que representamos con la expresión 2a
  • La distancia entre focos, a la que hemos simbolizado como 2c. Puedes hacerla variar moviendo alguno de los focos, o ambos
   
 

¡Interactúa!
   
 

Procedamos a construir conocimiento con el uso de esta herramienta:
   
 

1. Elige una longitud a para el semieje mayor moviendo el punto que se encuentra sobre la recta roja “semieje mayor” (extremo inferior derecho del applet).

2. Comprueba que la suma/resta de distancias a los focos es el doble del valor que elegiste, es decir, 2a.

3. Ahora mueve el foco F1 hacia la derecha. ¿Te fijas cómo se reduce el valor de la distancia entre focos (2c) a medida que F1 se acerca a F2? ¿Puedes predecir qué pasará si continúas moviendo el foco hacia la derecha? ¿A qué valor se acercará 2c? ¿Qué le pasará a la elipse? Intenta responder sin interactuar con el applet. Ya que tengas una respuesta, compruébala o corrígela usando el applet. Finalmente, detente un momento para asegurar que la información que guardaste en tu memoria de largo plazo es precisa y correcta.
   
 

   
 

Pues bien, este indicador será el que nos permita establecer la condición en la que se da el cambio en la gráfica.

 
           
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