Ejemplos de diferenciales  completas e incompletas

Comenzaremos con una integral en la que la diferencial no está completa, y que por ende no podemos resolver directamente. Veremos después un caso de diferencial completa.

1. Si recordamos la regla de derivación, reconoceremos que es  para potencia de una función. Ahora, si pretendemos integrar una función elevada a alguna potencia, en vez de disminuir la potencia, es lógico que la incrementemos en uno, ya que estamos realizando el proceso inverso a derivar.  puede escribirse como . 
   

   Pero resulta que si tomamos a 2x²+1 como una función elevada a una potencia, entonces su diferencial sería 2xdx, mientras que en la integral planteada sólo aparece dx. Por lo tanto, la diferencial no está completa, y en consecuencia no podemos resolverla la manera directa. Más adelante veremos métodos para lidiar con estos casos. También veremos que la falta o exceso de alguna constante puede no ser un problema.

2. Si recordamos la regla de derivación para la función cotangente, la reconoceremos en . En  tenemos que el proceso inverso a la derivada puede aplicarse, ya que tenemos una expresión del tipo  puesto que la derivada de ln(x) es 1/x. De este modo:

El valor negativo no indica un área negativa; indica que la curva, dentro de los límites de integración establecidos, pasa por debajo del eje horizontal. Por lo tanto, el área calculada es bajo el eje de las X y sobre la curva. Por lo demás, ten presente que las áreas se miden en unidades cuadradas, que aquí se representan por u².