Una regla para derivar funciones compuestas: la regla de la cadena

Vamos a derivar .

Para derivar esta función hay dos caminos: uno es mediante la regla del cociente; el otro, moviendo el denominador al numerador mediante un cambio de signo en el exponente. Usaremos esta segunda opción, pues nos permitirá trabajar menos.

Empecemos por arreglar la función:

Ahora sí, nuestros 3 pasos:

Paso 1: Identificar u:
Paso 2: Reescribir en función de u:
Paso 3: Derivar aplicando la regla de la cadena:

Multiplicamos los coeficientes y cambiamos el paréntesis al denominador, con el correspondiente cambio en el signo del exponente:

Ahora derivemos una función que contenga un producto:

Antes de empezar, haremos los arreglos algebraicos necesarios para usar exponentes racionales en lugar del radical:

¡Estamos listos!

Paso 1: Identificar u:
Paso 2: Reescribir en función de u:
Paso 3: Derivar aplicando la regla de la cadena y la regla del producto:

En el corchete simplificamos y 2

Multiplicamos en el primer término. Recuerda que las expresiones de varios términos que están elevadas a un exponente no se pueden simplificar ni operar, por lo que se quedan igual:

En el primer término cambiamos la expresión de exponente negativo al denominador; en el segundo término sustituimos el uso de exponentes racionales por el uso de radicales:

En el primer término también sustituimos en exponente racional por un símbolo de raíz cuadrada:

Para terminar con los ejemplos, derivemos una función compuesta definida por un cociente.


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