La forma de antiderivada

Partiendo un poco de la forma de derivada del Teorema Fundamental del Cálculo, veremos ahora la forma de antiderivada de dicho teorema. Para una función continua f, la igualdad G’(x) = f(x), con , implica que G(x) es una antiderivada de f(t). Sabemos también, por el teorema visto previamente al planteamiento del Teorema Fundamental del Cálculo, que G(x) = F(x) + c, con F(x) igualmente como una antiderivada de f(t).

De esto último, resulta que . Si sustituimos en esta expresión x = a, nos quedará que . Pero como en virtud de que una línea recta (x = a en este caso) no tiene superficie, entonces tendremos que F(a)+c=0 y que c=-F(a). Por tanto, podemos decir que .

Dado que esta igualdad es válida si x = b, tenemos entonces que . A partir de este resultado, podemos enunciar el Teorema Fundamental del Cálculo en su forma de antiderivada como sigue:

La diferencia de F(b) – F(a) se escribe también como  y que se lee como “F de x evaluada de a a b”.

Ya que se sabe que c puede ser cualquier constante, es posible asignarle un valor de cero, que es precisamente lo que se hace al calcular áreas bajo la curva. De aquí en adelante, llamaremos a c la constante de integración.

Esta forma del Teorema Fundamental del Cálculo nos permite utilizar el proceso de integración para calcular directamente áreas bajo la gráfica de una curva dentro de un determinado intervalo, al evaluar las antiderivadas de la función que describa la curva con la que se trabaje.